第725章 可数无穷不可数无穷（第2页）

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根本没有一个已经完成的“全体自然数”集合，只有无限延伸、永远数不到尽头的自然数。

“问题在于，无穷的这种性质是否真的有矛盾之处？”

“如果说过去人类还可以用潜无穷的思想把∞抛在一边，但随着微积分和实数理论的建立，一个描述实无限的理论已经迫在眉睫。”

“每一个无理数都是一个已完成的无穷序列，如果没有实无穷，那就没有无理数，微积分的理论基础也就完全消失了。”

李恒再次伸手从枣树上摘下一颗枣子，这一次他直接塞到自己的嘴里吃了下去。

“康托尔不认为这种性质是有矛盾的，虽然它违反了人类一直以来的直觉，但却并不违背逻辑。”

“所谓的矛盾，只不过是人类将处理有限数的方法推广到了无限之上，这就像用牛顿的运动定律去处理接近光的高物体一样。”

“在他看来，对于数学来说，只要一个理论是一致且相容的，没有自相矛盾之处，那它就是可以被接受的，除此之外没有其他多余的标准。”

“因此，康托尔将部分与整体一样大、集合的真子集与自身一样大作为无穷集合的基本性质。”

“有了一一对应的方法，那么很容易就能得到以下结论奇数、偶数、素数、整数，这些数构成的集合都能与全体自然数形成一一对应。”

“它们的数量都是一样的，有着同样的基数。”

“整数和自然数的基本特征就是可以一个接着一个地列出来，知道了前一个数就能写出后一个数，康托尔将这种性质称为【可数性】。”

“于是，具有和全体自然数集合相同基数的无穷大就被称为【可数无穷】。

“这就是第一个穷基数?o”

“其他无穷集合的基数可以通过这个基准的基数来计算，也就是把它们与?o比较，看看它们是否能和自然数建立一一对应。”

对无穷集合，绝不可能真正完成配对的过程。

只要能建立一个一一对应的操作程序，使得对第1个，n个，和（n+1）个成立，就可以通过数学归纳法证明，这种对应对两个集合从头到尾都成立。

有了作为基准的可数无穷，接下来的难题就是对于有理数的处理。

有理数看起来处处稠密，在直觉上根本无法像是自然数和整数一样一一列举出来。

但无理数的存在表明有理数并不连续，依旧是离散的。

既然如此，那么有理数或许也能用某种方式像是自然数一样一一列出，基数同样是可数无穷。

“想要证明这一点，需要用一种方法将有理数排列成类似自然数的形式，这种方法被称为集合的可数化。”

“每一个有理数可以表示为pq的形式，简单起见，只选择正有理数，对于无穷集合这种处理不会影响结果。”

康特尔先将这些有理数排列成一个二维矩阵的形式。

第一行是所有p1形式的有理数，也就是所有的整数。

第二行是所有p2形式的有理数，第三行是所有p3形式的有理数，以此类推。

然后在这张二维矩阵上画了一条Z字形的线，将矩阵上列出的所有有理数排列成一行。

1，2，12，13，22，3，4，32，23，14，15，24，33，42，5，6…

将这个有理数序列中所有重复的非最简形式分数去掉，得到一个有理数序列

1，2，12，13，3，4，32，23，14，15，…

所有的有理数完成了可数化，能够与自然数集合完成一一对应。

因此，看似无穷稠密的有理数的数量与自然数相等，依旧是?o。

阿基里斯咀嚼着口中的红枣，她汲取着其中的信息，接着有些惊讶地问道

“就算加入了比有理数多得多的无理数，额，这里把它们叫做无理代数数，依旧还是可数无穷？”

她在这颗红枣里看到了一个名为刘维尔的数学家做的有关于代数数和越数的证明。

一个实数如果是某个具有整系数的多项式方程的解，就把它称为代数数。

根号2是代数数，因为它是整系数二次方程x^2-2=o的一个解。

有理数就是一次整系数方程的解，代数数代表着有理数的扩充。

刘维尔不等式是一个有关于无理代数数和有理数的不等式。

通俗来说，这个不等式表明有理数作为无理代数数的邻居，其数量少得可怜。

“没错，无理数之间也是不一样的。”

“如根号2、根号3等实代数数同样可以像有理数一样进行可数化，因此虽然它们比有理数多得多，但数量还是与自然数一样多。”

李恒从口袋里掏出那条白色的数轴，用手指敲了敲上面那些意义不明的奇怪符号。

“所以，真正让实数轴具有连续性的不是无理代数数，而是那些更奇怪的越数。”

“说回实数集的基数，康托尔用来证明实数集不可数的方法是反证法。”

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